6. В треугольнике АВС ВМ - медиана и ВН – высота. Известно, что АC=136, HC=34 и ∠ACB=49°. Найдите ∠АМВ. Ответ дайте в градусах.

Так как BM - медиана, то MC = AC/2 = 136/2 = 68.

Рассмотрим треугольник BHC. Он прямоугольный, т.к. BH - высота. Тогда

BC = HC / cos(∠ACB) = 34 / cos(49°) ≈ 34 / 0.656 = 51.83

Применим теорему косинусов к треугольнику BMC:

BM² = BC² + MC² - 2 * BC * MC * cos(∠ACB)

BM² = 51.83² + 68² - 2 * 51.83 * 68 * cos(49°)

BM² ≈ 2686.35 + 4624 - 4701.52

BM² ≈ 2608.83

BM ≈ √2608.83 ≈ 51.08

Теперь рассмотрим треугольник ABM. AM = MC = 68.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABM, чтобы найти угол AMB:

AB² = AM² + BM² - 2 * AM * BM * cos(∠AMB)

Чтобы найти AB, рассмотрим треугольник ABH. AH = AC - HC = 136 - 34 = 102.

AB² = BH² + AH²

BH = HC * tan(∠ACB) = 34 * tan(49°) ≈ 34 * 1.15 = 39.1

AB² = 39.1² + 102² ≈ 1528.81 + 10404 = 11932.81

AB ≈ √11932.81 ≈ 109.24

Подставляем в теорему косинусов:

109.24² = 68² + 51.08² - 2 * 68 * 51.08 * cos(∠AMB)

11932.81 = 4624 + 2608.83 - 6949.28 * cos(∠AMB)

cos(∠AMB) = (4624 + 2608.83 - 11932.81) / 6949.28

cos(∠AMB) = -4699.98 / 6949.28 ≈ -0.676

∠AMB = arccos(-0.676) ≈ 132.53°