49. В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны 150°, AB=54. Найдите длину биссектрисы ВК.

Внешние углы при вершинах A и C равны 150°, значит, внутренние углы \(\angle BAC = \angle ACB = 180° - 150° = 30°\). Следовательно, \(\angle ABC = 180° - 30° - 30° = 120°\). Биссектриса BK делит угол ABC пополам, то есть \(\angle ABK = \angle CBK = 120° / 2 = 60°\). Теперь рассмотрим треугольник ABK. В нём \(\angle BAK = 30°\) и \(\angle ABK = 60°\). Значит, \(\angle AKB = 180° - 30° - 60° = 90°\). Итак, треугольник ABK - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике ABK: \(\sin(\angle BAK) = \frac{BK}{AB}\), то есть \(\sin(30°) = \frac{BK}{54}\). \(\frac{1}{2} = \frac{BK}{54}\). \(BK = \frac{54}{2} = 27\). Ответ: 27