4. В треугольнике MNF известно, что < = 90°, <M = 30°, отрезок FD биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20см.

В прямоугольном треугольнике MNF угол N равен 90°, угол M равен 30°. FD - биссектриса угла F. Необходимо найти катет MN, если FD = 20 см.

1. Найдем угол F:

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

$$∠F = 180° - ∠M - ∠N$$

$$∠F = 180° - 30° - 90°$$

$$∠F = 60°$$

2. Так как FD - биссектриса, то она делит угол F пополам:

$$∠MFD = ∠NFD = ∠F / 2 = 60° / 2 = 30°$$

3. Рассмотрим треугольник NFD. Он прямоугольный, так как угол N = 90°. В этом треугольнике известна гипотенуза FD = 20 см и угол NFD = 30°. Найдем катет ND:

$$ND = FD \cdot cos(∠NFD) = 20 \cdot cos(30°) = 20 \cdot (\sqrt{3}/2) = 10\sqrt{3}$$

4. Найдем угол MFN:

$$cos(30°) = \frac{MN}{MF}$$, где MN - прилежащий катет, MF - гипотенуза

Так как угол M = 30 градусов, то катет NF, лежащий напротив угла M, равен половине гипотенузы MF.

Найдём катет MN:

$$MN = NF \cdot \sqrt{3}$$

5. Так как FD - биссектриса, $$NF= 20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$$

6. $$MN = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30$$

Ответ: MN = 30 см.