10. Медиана В.М треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите сторону АС, если АВ 7 см.

Пусть точка пересечения медианы BM и биссектрисы AD - точка О.

Рассмотрим треугольник AВO. В этом треугольнике биссектриса AO является высотой.

Следовательно, треугольник AВO равнобедренный, и AB = BO.

Так как BM - медиана, то AM = MC, тогда AC = 2 * AM.

Продолжим медиану BM за точку M на расстояние равное BM. Получим отрезок BB1, равный 2 * BM.

Рассмотрим треугольники ABM и CВ1M. У этих треугольников AM = MC, BM = B1M, ∠AMB = ∠CMB1 (как вертикальные).

Тогда треугольники ABM и CВ1M равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Следовательно, AB = CB1 и ∠ABM = ∠CB1M.

Так как AB = BO, то CB1 = BO. Тогда треугольник CBO равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике CBO ∠BCO = ∠CBO.

Так как ∠ABO = ∠CB1M, то ∠ABO = ∠BCO.

Рассмотрим треугольник ABC. ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°.

Заменим ∠ABC на ∠BCA, тогда 2 * ∠BCA + ∠CAB = 180°.

Так как AO - биссектриса, то ∠CAB = 2 * ∠CAO.

Рассмотрим треугольник AOB. ∠ABO + ∠BOA + ∠OAB = 180°.

Так как треугольник ABO равнобедренный, то ∠ABO = ∠BOA.

Тогда 2 * ∠ABO + ∠OAB = 180°.

Следовательно, ∠BOA = ∠BCA и ∠OAB = ∠CAB.

Тогда треугольник ABC равносторонний, и AC = AB = 7 см.

Ответ: AC = 7 см.