5. В треугольнике MNF известно, что ZN=90°, ZM= 30", отрезок FD– биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

В треугольнике MNF:

∠N = 90°, ∠M = 30°, FD - биссектриса, FD = 20 см.

Найти: MN.

Решение:

Т.к. сумма углов треугольника равна 180°, то ∠F = 180° - (90° + 30°) = 60°.

FD - биссектриса, значит, ∠DFN = ∠MFE = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник DFN: ∠N = 90°, ∠DFN = 30°, FD = 20 см.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, DN = FD/2, DN = 20/2 = 10 см.

Рассмотрим треугольник MNF: ∠N = 90°, ∠M = 30°.

sin M = NF/MF; sin 30° = 1/2; NF = MN * tg M, tg 30° = √3/3; MF = 2*NF

Т.к. MD + DN = MN, то MD = 20 - 10 = 10 см.

cos M = MN/MF; cos 30° = √3/2; MN = MF * cos M.

Рассмотрим треугольник MFD: MD/FD = sin(30);MD = FD *sin(30)

10 = FD * 1/2; FD = 20см

tg(30) = ND/MN

MN = ND/tg(30) = 10 / (√3/3) = 10 * 3/√3 = 10√3см

Ответ:$$10\sqrt{3}$$ см