1. В тупоугольном треугольнике АВС АС = BC = 25, высота АН равна 20. Найдите cos ACB.

В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC = 25, следовательно, треугольник равнобедренный. Высота AH = 20.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH .

По теореме Пифагора:

$$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2}$$,

$$CH = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$$.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота AH является и медианой, следовательно, CH = BH.

$$CB = 2 \cdot CH = 2 \cdot 15 = 30$$.

По теореме косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos ACB$$

$$30^2 = 25^2 + 25^2 - 2 \cdot 25 \cdot 25 \cdot cos ACB$$

$$900 = 625 + 625 - 1250 \cdot cos ACB$$

$$900 = 1250 - 1250 \cdot cos ACB$$

$$1250 \cdot cos ACB = 1250 - 900$$

$$1250 \cdot cos ACB = 350$$

$$cos ACB = \frac{350}{1250}$$

$$cos ACB = \frac{35}{125}$$

$$cos ACB = \frac{7}{25} = 0,28$$.

Ответ: 0,28