В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что AB = BC и AD = CD. Это означает, что точки A и C лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BD. Следовательно, четырёхугольник ABCD является дельтоидом.

В дельтоиде противолежащие углы, образованные сторонами разной длины, равны. То есть, \( ∠A = ∠C \).

Сумма углов в любом четырёхугольнике равна \( 360^\circ \).

\( ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360^\circ \)

Так как \( ∠A = ∠C \), мы можем заменить \( ∠C \) на \( ∠A \) в уравнении:

\( ∠A + ∠B + ∠A + ∠D = 360^\circ \)

\( 2∠A + ∠B + ∠D = 360^\circ \)

Подставим известные значения углов \( ∠B = 77^\circ \) и \( ∠D = 141^\circ \):

\( 2∠A + 77^\circ + 141^\circ = 360^\circ \)

\( 2∠A + 218^\circ = 360^\circ \)

Вычтем \( 218^\circ \) из обеих сторон:

\( 2∠A = 360^\circ - 218^\circ \)

\( 2∠A = 142^\circ \)

Разделим обе стороны на 2:

\( ∠A = \frac{142^\circ}{2} \)

\( ∠A = 71^\circ \)

Ответ: 71