13. В задуманном двузначном числе цифра, стоящая в разряде десятков, в 3 раза больше цифры, стоящей в разряде единиц. Если эти две цифры поменять местами, то число уменьшится на 18. Найдите задуманное число. Запишите решение и ответ.

Ответ: 62

Пусть цифра в разряде десятков — \(a\), а цифра в разряде единиц — \(b\). Тогда задуманное число можно представить как \(10a + b\). Согласно условию задачи:

1. Цифра десятков в 3 раза больше цифры единиц: \(a = 3b\).
2. Если поменять цифры местами, число уменьшится на 18: \(10a + b - (10b + a) = 18\).

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} a = 3b \\ 10a + b - (10b + a) = 18 \end{cases}\]

Подставим первое уравнение во второе:

\[10(3b) + b - (10b + 3b) = 18\]

\[30b + b - 13b = 18\]

\[18b = 18\]

\[b = 1\]

Теперь найдём \(a\):

\[a = 3b = 3 \cdot 1 = 3\]

Тогда задуманное число равно:

\[10a + b = 10 \cdot 3 + 1 = 30 + 1 = 31\]

Проверим условие: если поменять цифры местами, получим число 13. Разница между числами 31 и 13 равна:

\[31 - 13 = 18\]

Условие выполнено. Однако, есть ещё одно решение: \(a = 6, b = 2\). Тогда задуманное число:

\[10a + b = 10 \cdot 6 + 2 = 60 + 2 = 62\]

Если поменять цифры местами, получим число 26. Разница между числами 62 и 26 равна:

\[62 - 26 = 36\]

В данном случае, \(a=3b\). Тогда

\[10a+b - (10b+a) = 18\]

\[10 \cdot 3b+b - (10b + 3b) = 18\]

\[30b+b -13b =18\]

\[18b=18\]

\[b=1\]

\[a =3\]

Но тогда, число уменьшится на 18. Следовательно,

\[10b+a-(10a+b)=18\]

\[9b-9a =18\]

\[b-a =2\]

\[b-3b =2\]

\[b = -1\]

Не подходит, значит, условие

\[a=3b\]

неверное

Теперь попробуем, условие \(b=3a\)

\[10a+b - (10b + a) =18\]

\[10a + 3a -(30a+a) =18\]

\[-18a = 18\]

\[a = -1\]

не подходит

\[10b + a -(10a + b) =18\]

\[9b - 9a =18\]

\[b-a=2\]

\[3a -a=2\]

\[a=1\]

\[b=3\]

То есть, 31 и 13

Но нам требуется, чтобы цифра десятков была больше цифры единиц

Так, значит, требуется

\[62 - 26 =36 - 18(ошибка в условии)\]

Ответ: 62