В1. Моторная лодка прошла 63 км по течению реки и 45 км против течения, затратив на весь путь 6 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если известно, что, двигаясь 5 ч по течению реки, она проходит тот же путь, что за 7 ч. Против течения.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи нам потребуется система уравнений, связывающая скорость, время и расстояние. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как 'v' и скорость течения реки как 'u'. Скорость лодки по течению будет (v + u), а против течения — (v - u). Расстояние = Скорость × Время.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем уравнения для первого случая (63 км по течению, 45 км против течения за 6 часов):
   Время по течению: \( t_1 = \frac{63}{v+u} \)
   Время против течения: \( t_2 = \frac{45}{v-u} \)
   Общее время: \( t_1 + t_2 = 6 \)
   => \( \frac{63}{v+u} + \frac{45}{v-u} = 6 \)
2. Шаг 2: Запишем уравнения для второго случая (5 часов по течению, тот же путь, что за 7 часов против течения). Расстояние, которое лодка проходит за 5 часов по течению, равно \( 5(v+u) \). Расстояние, которое она проходит за 7 часов против течения, равно \( 7(v-u) \). По условию эти расстояния равны:
   5(v+u) = 7(v-u)
3. Шаг 3: Решим второе уравнение, чтобы найти соотношение между 'v' и 'u':
   5v + 5u = 7v - 7u
   5u + 7u = 7v - 5v
   12u = 2v
   v = 6u
4. Шаг 4: Подставим 'v = 6u' в первое уравнение:
   \( \frac{63}{6u+u} + \frac{45}{6u-u} = 6 \)
   \( \frac{63}{7u} + \frac{45}{5u} = 6 \)
   \( \frac{9}{u} + \frac{9}{u} = 6 \)
   \( \frac{18}{u} = 6 \)
5. Шаг 5: Найдем скорость течения 'u':
   18 = 6u
   u = 3 км/ч
6. Шаг 6: Найдем скорость лодки в стоячей воде 'v', используя соотношение v = 6u:
   v = 6 * 3
   v = 18 км/ч

Ответ: Скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч.