В2. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

В условии не указано, какие стороны трапеции параллельны. При стандартном обозначении AB ∥ CD данные противоречивы: из BD ⟂ AB и AB ∥ CD следует BD ⟂ CD, то есть ∠BDC = 90°, а не 30°. Если основания — AD ∥ BC, данные согласуются и позволяют найти AD.

Рассмотрим этот возможный вариант. В прямоугольном треугольнике ABD угол B равен 90°, угол D равен 30°. Обозначив AD = x, получим AB = x/2 и BD = √3x/2. Так как AD ∥ BC, из углов при диагонали BD следует, что треугольник BDC имеет углы 30°, 30° и 120°. Поэтому CD = BD = √3x/2, а BC = BD/√3 = x/2.

Периметр тогда равен x + x/2 + x/2 + √3x/2 = 60. Следовательно, x(2 + √3/2) = 60, откуда x = 120/(4 + √3) = (480 − 120√3)/13 ≈ 21,0 см.

Ответ: если AD ∥ BC, то AD = 120/(4 + √3) см ≈ 21,0 см. Для однозначного ответа нужно уточнить, какие стороны трапеции параллельны.