В2. Зависимость проекции скорости тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени задана уравнением vₓ = A + Bt, где A = 8 м/с, B = -4 м/с². Путь s, пройденный телом за промежуток времени Δt = 6,0 с, считая от начала отсчета времени, равен ... м.

Решение:

Дано: \( v_x = A + Bt \), \( A = 8  \frac{\text{м}}{\text{с}} \), \( B = -4  \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \), \( \Delta t = 6.0  \text{с} \).

Чтобы найти путь, пройденный телом, нам нужно проинтегрировать зависимость скорости от времени:

\( s = ∫_{0}^{6.0} v_x dt = ∫_{0}^{6.0} (A + Bt) dt \)

\( s = ∫_{0}^{6.0} (8 - 4t) dt \)

Выполним интегрирование:

\( s = 〉_{0}^{6.0} (8 - 4t) dt = \left[ 8t - 2t^2 〈_{0}^{6.0} \right] \)

Подставим пределы интегрирования:

\( s = (8 × 6.0 - 2 × 6.0^2) - (8 × 0 - 2 × 0^2) \)

\( s = (48 - 2 × 36) - 0 \)

\( s = 48 - 72 \)

\( s = -24  \text{м} \)

Так как путь не может быть отрицательным, а мы искали перемещение, то модуль пройденного пути будет равен модулю перемещения. Однако, скорость становится отрицательной после \( t = 2 \) с. Проанализируем движение:

Скорость в момент \( t=0 \) равна \( v_x(0) = 8 \) м/с.

Скорость в момент \( t=6 \) с равна \( v_x(6) = 8 + (-4 × 6) = 8 - 24 = -16 \) м/с.

Тело останавливается, когда \( v_x = 0 \): \( 8 - 4t = 0 ⇒ t = 2 \) с.

Путь пройденный до \( t=2 \) с:

\( s_1 = ∫_{0}^{2} (8 - 4t) dt = [8t - 2t^2]_{0}^{2} = (8 × 2 - 2 × 2^2) - 0 = 16 - 8 = 8 \) м

Путь пройденный от \( t=2 \) до \( t=6 \) с (движение в обратном направлении):

\( s_2 = |∫_{2}^{6} (8 - 4t) dt| = |[8t - 2t^2]_{2}^{6}| = |(8 × 6 - 2 × 6^2) - (8 × 2 - 2 × 2^2)| \)

\( s_2 = |(48 - 72) - (16 - 8)| = |-24 - 8| = |-32| = 32 \) м

Общий путь:

\( s_{общ} = s_1 + s_2 = 8 + 32 = 40 \) м

Ответ: 40 м.