В3. Из точки O выходят лучи OA, OB, OC и OD так, как показано на рисунке. Известно, что сумма углов AOB и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Обозначим направления лучей OA, OB, OC и OD относительно одной оси через a, b, c и d. По рисунку лучи расположены вокруг точки в порядке A, B, C, D. Пусть x = ∠AOB, y = ∠BOC, z = ∠COD. Тогда x + z = 180°.

Направление биссектрисы ∠AOC находится посередине между направлениями OA и OC, а направление биссектрисы ∠BOD — посередине между OB и OD. Разность этих направлений равна половине суммы углов ∠AOB и ∠COD:

\(\frac{x+z}{2}=\frac{180°}{2}=90°\).

Следовательно, биссектрисы образуют прямой угол.

Что и требовалось доказать.