В4. а) Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что луч AK — биссектриса угла BAD.

Пусть \(AB=a\). По условию \(BC=2a\), поэтому \(BK=KC=a\). В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(AD=BC=2a\).

Так как AB ∥ CD, то угол между лучами AK и AB равен углу AKC. Рассмотрим треугольники ABK и ADK.

Имеем:

• \(AB=BK=a\), поэтому треугольник ABK равнобедренный;
• \(AD=2a\), \(DK=DC+CK=a+a=2a\), поэтому треугольник ADK равнобедренный;
• общая сторона — \(AK\).

Из равенства соответствующих углов этих равнобедренных треугольников следует:

\[\angle BAK=\angle KAD.\]

Следовательно, луч AK делит угол BAD пополам.

Ответ: луч AK — биссектриса угла BAD.