В8. Найдите наибольшее значение функции у =x³+20х²+100х+23 на отрезке [-1;1].

Решение:

Найдем производную функции \( y = x^3 + 20x^2 + 100x + 23 \).

\( y' = 3x^2 + 40x + 100 \).

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( 3x^2 + 40x + 100 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1600 - 1200 = 400 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \).

\( x_1 = \frac{-40 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \).

\( x_2 = \frac{-40 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-60}{6} = -10 \).

Обе критические точки \( x_1 = -\frac{10}{3} \approx -3.33 \) и \( x_2 = -10 \) не принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут достигаться на концах отрезка.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При \( x = -1 \):

\( y(-1) = (-1)^3 + 20(-1)^2 + 100(-1) + 23 = -1 + 20 - 100 + 23 = -58 \).

При \( x = 1 \):

\( y(1) = (1)^3 + 20(1)^2 + 100(1) + 23 = 1 + 20 + 100 + 23 = 144 \).

Наибольшее значение функции на отрезке \( [-1; 1] \) равно 144.

Ответ: 144.