Вариант 1 • 1. Упростите выражение: a) (x-3)(x-7)-2x(3x-5); б) 4a (a-2)-(a-4)²; в) 2(m+1)²-4m. • 2. Разложите на множители: a) x³-9x; 6)5a²-10ab-5b2. 3. Упростите выражение (y2-2y)2y² (y+3) (y-3)+2y (2y²+5). 4. Разложите на множители: a) 16x4-81; б) х²-х-у²-у. 5. Докажите, что выражение х2-4х+9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Вариант 1

1. Упростите выражение:

а) (x - 3)(x - 7) - 2x(3x - 5)

• Раскрываем скобки: x² - 7x - 3x + 21 - 6x² + 10x
• Упрощаем: -5x² - 10x + 21 + 10x
• Приводим подобные: -5x² + 21

Ответ: -5x² + 21

б) 4a(a - 2) - (a - 4)²

• Раскрываем скобки: 4a² - 8a - (a² - 8a + 16)
• Упрощаем: 4a² - 8a - a² + 8a - 16
• Приводим подобные: 3a² - 16

Ответ: 3a² - 16

в) 2(m + 1)² - 4m

• Раскрываем скобки: 2(m² + 2m + 1) - 4m
• Упрощаем: 2m² + 4m + 2 - 4m
• Приводим подобные: 2m² + 2

Ответ: 2m² + 2

2. Разложите на множители:

а) x³ - 9x

• Выносим общий множитель: x(x² - 9)
• Раскладываем разность квадратов: x(x - 3)(x + 3)

Ответ: x(x - 3)(x + 3)

б) 5a² - 10ab - 5b²

• Выносим общий множитель: 5(a² - 2ab - b²)

Ответ: 5(a² - 2ab - b²)

3. Упростите выражение: (y² - 2y)² - y²(y + 3)(y - 3) + 2y(2y² + 5)

• Раскрываем скобки: y⁴ - 4y³ + 4y² - y²(y² - 9) + 4y³ + 10y
• Упрощаем: y⁴ - 4y³ + 4y² - y⁴ + 9y² + 4y³ + 10y
• Приводим подобные: 13y² + 10y

Ответ: 13y² + 10y

4. Разложите на множители:

а) 16x⁴ - 81

• Представляем как разность квадратов: (4x²)² - 9²
• Раскладываем: (4x² - 9)(4x² + 9)
• Раскладываем первую скобку как разность квадратов: (2x - 3)(2x + 3)(4x² + 9)

Ответ: (2x - 3)(2x + 3)(4x² + 9)

б) x² - x - y² - y

• Группируем: (x² - y²) - (x + y)
• Раскладываем разность квадратов: (x - y)(x + y) - (x + y)
• Выносим общий множитель: (x + y)(x - y - 1)

Ответ: (x + y)(x - y - 1)

5. Докажите, что выражение x² - 4x + 9 при любых значениях x принимает положительные значения.

• Преобразуем выражение: x² - 4x + 9 = (x² - 4x + 4) + 5
• Выделяем полный квадрат: (x - 2)² + 5
• Так как (x - 2)² всегда неотрицательно, а к нему прибавляется 5, то выражение всегда больше 0.

Ответ: Выражение (x - 2)² + 5 всегда положительно, так как квадрат любого числа неотрицателен, и к нему прибавляется положительное число 5.