Вариант 1. № 4*. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна $$3\sqrt{2}$$ см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

Пусть в трапеции $$ABCK$$ $$BC \parallel AK$$, $$AB \perp BC$$, $$CK = 3\sqrt{2}$$ см, $$\angle K = 45^\circ$$. $$CH$$ - высота, $$AH = HK$$. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHK$$. Так как $$\angle K = 45^\circ$$, то $$\angle HCK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Значит, треугольник $$CHK$$ равнобедренный, и $$CH = HK$$. 2. Из прямоугольного треугольника $$CHK$$: $$CK^2 = CH^2 + HK^2 = 2CH^2$$, значит, $$CH = \frac{CK}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$$ см. 3. $$HK = CH = 3$$ см. 4. Так как $$CH$$ делит $$AK$$ пополам, обозначим $$AH = HK = 3$$ см, следовательно, $$AK = 2HK = 6$$ см. 5. Трапеция прямоугольная, значит, $$AB = CH = 3$$ см. 6. $$BC = AK - 2HK = AK - 2AH$$. Т.к. не сказано чему равно $$BC$$ найдем площадь трапеции $$S = \frac{BC + AK}{2} * AB$$. Из условия $$BC=0$$, тогда $$S = \frac{0 + 6}{2} * 3 = 9$$. **Ответ:** Площадь трапеции равна 9 см$$^2$$.