Вариант № 1 1. Задание 15 Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

1. Задание 15

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD.

Решение:

Угол ABD = угол ACD, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD.

Угол ACD = угол BCD - угол ACB

Угол BCD = 180° - угол BAD (так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°)

Угол BAD = угол BAC + угол CAD

Угол BAC = 180° - угол ABC - угол ACB

Угол ACB = 180° - угол ALC - угол CAL

Угол BCD = 180° - (угол BAC + угол CAD)

1) Найдем угол BAC:

Угол BAC = 180° - 132° - угол ACB

$$ \angle BCD = 180^\circ - \angle BAD $$

$$ \angle BCD = 180^\circ - (\angle BAC + \angle CAD) $$

$$ \angle BCD = 180^\circ - (\angle BAC + 80^\circ) $$

$$ \angle ABD = \angle ACD = 48^\circ $$.

$$ \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ $$

$$ \angle ADC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ $$

$$ \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC $$

$$ \angle ABD = \angle ACD $$, опираются на одну и ту же дугу

$$ \angle ACD = x $$

Сумма углов треугольника = 180.

Рассмотрим треугольник CAD

$$ \angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180^\circ $$

$$ 80 + x + \angle CDA = 180^\circ $$

$$ x + \angle CDA = 100^\circ $$

Ответ: нет данных для точного расчета угла ABD.

Угол BCD = 180° - Угол BAD

Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = Угол BAC + 80°

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, угол ABD = углу ACD.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам. Значит, угол ADC = 180 - 132 = 48 градусов.

Угол ADC = Угол ADB + Угол BDC

Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 132 градуса. Значит, угол BAC + угол BCA = 180 - 132 = 48 градусов.

Рассмотрим треугольник ADC. Угол CAD = 80 градусов, угол ADC = 48 градусов. Значит, угол ACD = 180 - 80 - 48 = 52 градуса.

Так как угол ABD = углу ACD, то угол ABD = 52 градуса.

Ответ: 52