Вариант 8 1. Найти значение выражения: a) cos210°; 6) sin7π/6; в) ctg11π/4. 2. Вычислить cosa, sin2a, если sina=3/5 и 3π/2<α<3π 3.Упростить выражение cos(a+b)+sin a sin ẞ/ctgẞ 4. Доказать тождество sin(π/2-α)+ cos²(π-α)+cos 2a/sin 2a+cos(3π/2-α) = 1/2 ctga 5. Решить уравнение cos7 x cos 9x = 1-sin 7x sin 9x

Вариант 8

1. Найти значение выражения:

• a) \( cos210° = cos(180° + 30°) = -cos30° = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• б) \( sin\frac{7π}{6} = sin(π + \frac{π}{6}) = -sin\frac{π}{6} = -\frac{1}{2} \)
• в) \( ctg\frac{11π}{4} = ctg(2π + \frac{3π}{4}) = ctg\frac{3π}{4} = -1 \)

2. Вычислить \( cosa \) и \( sin2a \), если \( sina = \frac{3}{5} \) и \( \frac{3π}{2} < α < 2π \)

• Так как \( \frac{3π}{2} < α < 2π \), то угол \( α \) находится в четвертой четверти, где косинус положителен.
• \( cosa = \sqrt{1 - sin^2a} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \)
• \( sin2a = 2sina cosa = 2(\frac{3}{5})(\frac{4}{5}) = \frac{24}{25} \)

3. Упростить выражение:

\[ \frac{cos(a+β)+sin a sin β}{ctgβ} \]

• Используем формулу косинуса суммы: \( cos(a + β) = cosa cosβ - sina sinβ \)
• Тогда: \( cos(a + β) + sina sin β = cosa cosβ - sina sinβ + sina sin β = cosa cosβ \)
• Выражение примет вид: \( \frac{cosa cosβ}{ctgβ} = \frac{cosa cosβ}{\frac{cosβ}{sinβ}} = cosa sinβ \)

Ответ: \( cosa sinβ \)

4. Доказать тождество:

\[ \frac{sin(\frac{π}{2}-α)+ cos²(π-α)+cos 2a}{sin 2a+cos(\frac{3π}{2}-α)} = \frac{1}{2} ctga \]

• \( sin(\frac{π}{2} - a) = cosa \)
• \( cos(π - a) = -cosa \), значит, \( cos^2(π - a) = cos^2a \)
• \( cos(\frac{3π}{2} - a) = -sina \)

Тогда левая часть:

\[ \frac{cosa + cos^2a + cos 2a}{sin 2a - sina} = \frac{cosa + cos^2a + 2cos^2a - 1}{2sina cosa - sina} = \frac{3cos^2a + cosa - 1}{sina(2cosa - 1)} \]

Это не равно правой части, возможно, есть ошибка в условии.

5. Решить уравнение:

\[ cos7 x cos 9x = 1 - sin 7x sin 9x \]

• Перенесем все в левую часть: \( cos7 x cos 9x + sin 7x sin 9x - 1 = 0 \)
• Используем формулу косинуса разности: \( cos(7x - 9x) - 1 = 0 \)
• \( cos(-2x) = 1 \)
• \( cos(2x) = 1 \)
• \( 2x = 2πk, k ∈ Z \)
• \( x = πk, k ∈ Z \)

Ответ: \( x = πk, k ∈ Z \)