Вариант 6 1.Найти значение выражения: a) cos225°; 6) sin5π/6; в) ctg150°. 2. Вычислить cosa, sin2a, если sina=-4/5 и 3π/2<α< 2π 3.Упростить выражение cos(a-β)-sin a sin β/ctgβ 4. Доказать тождество cos 2a-sin(3π/2 -a)+ cos²(π-α)/sin 2a-cos(π/2-α) = 1/2 ctga 5. Решить уравнение cos x cos 3x = 1 sin x sin 3x

Вариант 6

1. Найти значение выражения:

• a) \( cos225° = cos(180° + 45°) = -cos45° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• б) \( sin\frac{5π}{6} = sin(π - \frac{π}{6}) = sin\frac{π}{6} = \frac{1}{2} \)
• в) \( ctg150° = ctg(180° - 30°) = -ctg30° = -\sqrt{3} \)

2. Вычислить \( cosa \) и \( sin2a \), если \( sina = -\frac{4}{5} \) и \( \frac{3π}{2} < α < 2π \)

• Так как \( \frac{3π}{2} < α < 2π \), то угол \( α \) находится в четвертой четверти, где косинус положителен.
• \( cosa = \sqrt{1 - sin^2a} = \sqrt{1 - (-\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \)
• \( sin2a = 2sina cosa = 2(-\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25} \)

3. Упростить выражение:

\[ \frac{cos(a-β)-sin a sin β}{ctgβ} \]

• Используем формулу косинуса разности: \( cos(a - β) = cosa cosβ + sina sinβ \)
• Тогда: \( cos(a - β) - sina sin β = cosa cosβ + sina sinβ - sina sin β = cosa cosβ \)
• Выражение примет вид: \( \frac{cosa cosβ}{ctgβ} = \frac{cosa cosβ}{\frac{cosβ}{sinβ}} = cosa sinβ \)

Ответ: \( cosa sinβ \)

4. Доказать тождество:

\[ \frac{cos 2a-sin(\frac{3π}{2} -a)+ cos²(π-α)}{sin 2a-cos(\frac{π}{2}-α)} = \frac{1}{2} ctga \]

• \( sin(\frac{3π}{2} - a) = -cosa \)
• \( cos(π - a) = -cosa \), значит, \( cos^2(π - a) = cos^2a \)
• \( cos(\frac{π}{2} - a) = sina \)

Тогда левая часть:

\[ \frac{cos 2a + cosa + cos^2a}{sin 2a - sina} = \frac{2cos^2a - 1 + cosa + cos^2a}{2sina cosa - sina} = \frac{3cos^2a + cosa - 1}{sina(2cosa - 1)} \]

Это не равно правой части, возможно, есть ошибка в условии.

5. Решить уравнение:

\[ cos x cos 3x = 1 - sin x sin 3x \]

• Перенесем все в левую часть: \( cos x cos 3x + sin x sin 3x - 1 = 0 \)
• Используем формулу косинуса разности: \( cos(x - 3x) - 1 = 0 \)
• \( cos(-2x) = 1 \)
• \( cos(2x) = 1 \)
• \( 2x = 2πk, k ∈ Z \)
• \( x = πk, k ∈ Z \)

Ответ: \( x = πk, k ∈ Z \)