Вариант 5 1. Найти значение выражения: a) sin210°; 6) cos7π/6; в) tg11π/4 2. Вычислить sina, cos2a, если cosa=-5/13 и п<a<3π/2 3.Упростить выражение sin ẞ cos a+ sin(a-β)/tga 4. Доказать тождество 2 sin 2a – sin(π + a) + cos(3π/2 -a)/1-sin(π/2-a) = -2 sin a 5. Решить уравнение sin 5x cos 3x = cos 5x sin 3x - 1

Привет! Разбираемся с тригонометрией, поехали!

Вариант 5

1. Найдем значения выражений:

• a) \( sin210° = sin(180° + 30°) = -sin30° = -\frac{1}{2} \)
• б) \( cos\frac{7π}{6} = cos(π + \frac{π}{6}) = -cos\frac{π}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• в) \( tg\frac{11π}{4} = tg(2π + \frac{3π}{4}) = tg\frac{3π}{4} = -1 \)

2. Вычислим \( sina \) и \( cos2a \), если \( cosa = -\frac{5}{13} \) и \( π < a < \frac{3π}{2} \)

• Так как \( π < a < \frac{3π}{2} \), то угол \( a \) находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
• \( sina = -\sqrt{1 - cos^2a} = -\sqrt{1 - (-\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \)
• \( cos2a = 2cos^2a - 1 = 2(-\frac{5}{13})^2 - 1 = 2(\frac{25}{169}) - 1 = \frac{50}{169} - 1 = -\frac{119}{169} \)

3. Упростим выражение:

\[ \frac{sin β cos a + sin(a-β)}{tga} \]

• Используем формулу синуса разности: \( sin(a - β) = sina cosβ - cosa sinβ \)
• Тогда: \( sin β cos a + sin(a - β) = sin β cos a + sina cos β - cosa sin β = sina cos β \)
• Выражение примет вид: \( \frac{sina cos β}{tga} = \frac{sina cos β}{\frac{sina}{cosa}} = cos β * cosa \)

Ответ: \( cos β * cosa \)

4. Докажем тождество:

\[ \frac{2 sin 2a – sin(π + a) + cos(\frac{3π}{2} - a)}{1 - sin(\frac{π}{2} - a)} = -2 sin a \]

• \( sin(π + a) = -sina \)
• \( cos(\frac{3π}{2} - a) = -sina \)
• \( sin(\frac{π}{2} - a) = cosa \)

Тогда левая часть:

\[ \frac{2 sin 2a + sina - sina}{1 - cosa} = \frac{2 sin 2a}{1 - cosa} = \frac{4 sina cosa}{1 - cosa} \]

Не равно правой части, возможно, есть ошибка в условии.

5. Решим уравнение:

\[ sin 5x cos 3x = cos 5x sin 3x - 1 \]

• Перенесем все в левую часть: \( sin 5x cos 3x - cos 5x sin 3x + 1 = 0 \)
• Используем формулу синуса разности: \( sin(5x - 3x) + 1 = 0 \)
• \( sin(2x) = -1 \)
• \( 2x = -\frac{π}{2} + 2πk, k ∈ Z \)
• \( x = -\frac{π}{4} + πk, k ∈ Z \)

Ответ: \( x = -\frac{π}{4} + πk, k ∈ Z \)