Вариант 7 1. Найти значение выражения: a) sin225°; 6) cos5π/6; в) tg150°. 2. Вычислить sina, cos2a, если cosa=-12/13 η π<α<3π/2 3.Упростить выражение sin(α-β)+sin ẞ cos a/tga 4. Доказать тождество sin(3π + a) + cos(π/2 - a) - 2 sin 2a/sin(3π/2 + a) + 1 = 2 sin a 5. Решить уравнение sin 7x cos 5x = cos 7x sin 5x - 1

Привет! Разбираемся с тригонометрией, поехали!

Вариант 7

1. Найдем значения выражений:

• a) \( sin225° = sin(180° + 45°) = -sin45° = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• б) \( cos\frac{5π}{6} = cos(π - \frac{π}{6}) = -cos\frac{π}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
• в) \( tg150° = tg(180° - 30°) = -tg30° = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

2. Вычислим \( sina \) и \( cos2a \), если \( cosa = -\frac{12}{13} \) и \( π < a < \frac{3π}{2} \)

• Так как \( π < a < \frac{3π}{2} \), то угол \( a \) находится в третьей четверти, где синус отрицателен.
• \( sina = -\sqrt{1 - cos^2a} = -\sqrt{1 - (-\frac{12}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \)
• \( cos2a = 2cos^2a - 1 = 2(-\frac{12}{13})^2 - 1 = 2(\frac{144}{169}) - 1 = \frac{288}{169} - 1 = \frac{119}{169} \)

3. Упростим выражение:

\[ \frac{sin(α-β)+sin β cos a}{tga} \]

• Используем формулу синуса разности: \( sin(α - β) = sina cosβ - cosa sinβ \)
• Тогда: \( sin(α - β) + sin β cos a = sina cosβ - cosa sinβ + sin β cos a = sina cosβ \)
• Выражение примет вид: \( \frac{sina cos β}{tga} = \frac{sina cos β}{\frac{sina}{cosa}} = cos β * cosa \)

Ответ: \( cos β * cosa \)

4. Докажем тождество:

\[ \frac{sin(3π + a) + cos(\frac{π}{2} - a) - 2 sin 2a}{sin(\frac{3π}{2} + a) + 1} = 2 sin a \]

• \( sin(3π + a) = -sina \)
• \( cos(\frac{π}{2} - a) = sina \)
• \( sin(\frac{3π}{2} + a) = -cosa \)

Тогда левая часть:

\[ \frac{-sina + sina - 2 sin 2a}{-cosa + 1} = \frac{-2 sin 2a}{1 - cosa} = \frac{-4 sina cosa}{1 - cosa} \]

Не равно правой части, возможно, есть ошибка в условии.

5. Решим уравнение:

\[ sin 7x cos 5x = cos 7x sin 5x - 1 \]

• Перенесем все в левую часть: \( sin 7x cos 5x - cos 7x sin 5x + 1 = 0 \)
• Используем формулу синуса разности: \( sin(7x - 5x) + 1 = 0 \)
• \( sin(2x) = -1 \)
• \( 2x = -\frac{π}{2} + 2πk, k ∈ Z \)
• \( x = -\frac{π}{4} + πk, k ∈ Z \)

Ответ: \( x = -\frac{π}{4} + πk, k ∈ Z \)