Вариант 1, Задача 2: Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 36, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.

Поскольку окружность проходит через точки B, C, K и P, то четырёхугольник BCPK является вписанным. Тогда ∠BKP = 180° - ∠BCP и ∠KPC = 180° - ∠KBC. По теореме об углах, вписанных в окружность, если точки B, C, K, P лежат на окружности, то ∠BPC = ∠BKC. Также ∠CBK = ∠CPK и ∠BCP = ∠BKP. Четырехугольник BCPK вписанный, следовательно, ∠A + ∠PKC = 180° и ∠A + ∠BKC = 180°. Пусть BC = x, тогда AB = 1.8x. По теореме косинусов для треугольника ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos(B) По теореме косинусов для треугольника AKP: KP^2 = AK^2 + AP^2 - 2*AK*AP*cos(A) По условию задачи, точки K и P лежат на сторонах AB и AC соответственно. Значит, треугольники AKP и ABC подобны. AP = 36, значит, AC > 36. Коэффициент подобия k = AP/AC. Тогда AK = k*AB и KP = k*BC. KP = (AP/AC) * BC = (36/AC) * BC Так как четырёхугольник BCPK вписанный, то ∠A = ∠K, значит, AC = AB, следовательно, треугольник ABC равнобедренный. Но это не так, потому что BC в 1.8 раза меньше AB. Четырехугольник BCPK - вписанный. Значит, углы BAC и BPC равны. Поскольку BCPK вписанный, углы BKC и BPC равны. Пусть ∠BAC = α. Тогда ∠BKC + ∠BPC = 180°. Так как B, C, K, P лежат на одной окружности, то четырехугольник BCPK вписанный. Тогда ∠A + ∠C = 180°. КП = (AP * BC) / AB = (36 * BC) / (1.8 * BC) = 36 / 1.8 = 20. Ответ: 20