Вариант 1, Задача 3: Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.

Поскольку точка M равноудалена от всех вершин четырехугольника ABCD, то M является центром окружности, описанной около этого четырехугольника. Значит, все вершины лежат на этой окружности. Тогда AD - диаметр окружности, а AM = MD = R, где R - радиус окружности. Следовательно, AD = 2R. Четырехугольник ABCD - вписанный. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. ∠B + ∠D = 180° и ∠A + ∠C = 180° ∠B = 129°, значит, ∠D = 180° - 129° = 51° ∠C = 96°, значит, ∠A = 180° - 96° = 84° По теореме синусов для треугольника BCD: BC/sin(D) = BD/sin(C) = CD/sin(B) = 2R BC = 8, sin(D) = sin(51°), sin(C) = sin(96°), sin(B) = sin(129°) 8/sin(51°) = 2R 2R = 8/sin(51°) AD = 2R = 8/sin(51°) ≈ 8/0.777 ≈ 10.296 Ответ: AD ≈ 10.3