Вариант 1, Задача 1: Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 12.

Поскольку BH - диаметр окружности, а точки P и K лежат на окружности, то угол BPK и BKH прямые (опираются на диаметр). В прямоугольном треугольнике ABC, BH - высота, проведенная из вершины прямого угла B. Рассмотрим четырёхугольник BPKH. Углы BPK и BKH прямые, значит, PK является диаметром окружности, описанной около прямоугольника BPKH. Треугольники BPK и BHК - прямоугольные, так как опираются на диаметр. Угол PBK = углу ABH, угол HBK = углу CBH. Прямоугольные треугольники ABH и CBH подобны исходному треугольнику ABC. Треугольники BPK и BAC подобны по двум углам (угол B - общий). Так как углы BPK и BKH - прямые, то PK || AC. Рассмотрим треугольник ABС. PK || AC, и BH перпендикулярна AC. Следовательно, BH перпендикулярна PK. Значит, треугольник PBK - прямоугольный, и BH является его высотой. Треугольники BPK и BAC подобны, и коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон. Так как BPKH - прямоугольник, то PK = NH. Но NH является проекцией BH на гипотенузу AC. Т.к. PK || AC, то треугольники BPK и BAC подобны. Коэффициент подобия равен отношению BH/BA. Поскольку ∠PBK = ∠ABC, то ΔPBK ~ ΔABC. Поскольку PK || AC, треугольник BPK подобен треугольнику BAC. Коэффициент подобия k = BH/BH = 1. Следовательно, PK = AC. В прямоугольном треугольнике ABC, если BH - высота, то PK = BH, поскольку PK - диаметр окружности, построенной на BH. Таким образом, PK = BH = 12. Ответ: 12