Вариант 38, задача 7: Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см², а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть $$S_{ос}$$ - площадь осевого сечения цилиндра, $$h$$ - образующая (высота) цилиндра, $$d$$ - диаметр основания, $$r$$ - радиус основания. По условию, $$S_{ос} = 108$$ см$$^2$$ и $$h = \frac{1}{3}d = \frac{2}{3}r$$. Площадь осевого сечения равна произведению высоты на диаметр основания: $$S_{ос} = h \cdot d = \frac{2}{3}r \cdot 2r = \frac{4}{3}r^2$$. Таким образом, $$\frac{4}{3}r^2 = 108$$. Отсюда $$r^2 = \frac{3}{4} \cdot 108 = 3 \cdot 27 = 81$$, следовательно, $$r = \sqrt{81} = 9$$ см. Тогда высота цилиндра $$h = \frac{2}{3}r = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$$ см. Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $$S_{полн} = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 9 (9 + 6) = 2\pi \cdot 9 \cdot 15 = 270\pi$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна $$270\pi$$ см$$^2$$.