Вариант 35, задача 7: Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см в первый раз вращается вокруг большего катета, а во второй – вокруг меньшего. Сравните площади боковых поверхностей получающихся при этом конусов.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a = 3$$ см и $$b = 4$$ см. В первом случае вращение происходит вокруг большего катета (b = 4 см). Тогда радиус основания конуса $$r_1 = a = 3$$ см, а образующая $$l_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ см. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_1 = \pi r_1 l_1 = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$$ см$$^2$$. Во втором случае вращение происходит вокруг меньшего катета (a = 3 см). Тогда радиус основания конуса $$r_2 = b = 4$$ см, а образующая $$l_2 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ см. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_2 = \pi r_2 l_2 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$$ см$$^2$$. Сравним площади: $$S_1 = 15\pi$$ см$$^2$$ и $$S_2 = 20\pi$$ см$$^2$$. Очевидно, что $$S_2 > S_1$$. Ответ: Площадь боковой поверхности конуса, полученного при вращении вокруг меньшего катета, больше площади боковой поверхности конуса, полученного при вращении вокруг большего катета.