Вариант 1, задача 3: Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть стороны основания параллелепипеда равны (a = 3) см и (b = 5) см, а угол между ними (\gamma = 60^\circ). Пусть (d_1) и (d_2) - диагонали основания, где (d_1 > d_2), и (H) - высота (боковое ребро) параллелепипеда. Нам дана большая диагональ параллелепипеда (D = 10) см.

Сначала найдем большую диагональ основания (d_1) по теореме косинусов: $$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \gamma) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\gamma) = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 25 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 + 15 = 49,$$откуда $$d_1 = \sqrt{49} = 7 \text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей диагональю параллелепипеда (D), большей диагональю основания (d_1) и высотой (H). По теореме Пифагора: $$D^2 = d_1^2 + H^2,$$откуда $$H^2 = D^2 - d_1^2 = 10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51,$$и $$H = \sqrt{51} \text{ см}.$$

Ответ: Боковое ребро параллелепипеда равно \(\sqrt{51}\) см.