Вариант 2, задача 3: В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 5 см. Высота призмы равна 3 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через основание равнобедренного треугольника и противоположную вершину верхнего основания призмы, если диагонали равных боковых граней равны 6,5 см.

Обозначим основание равнобедренного треугольника как (a = 5) см, высоту призмы как (h = 3) см, а диагональ боковой грани как (d = 6.5) см. Рассмотрим равнобедренный треугольник в основании призмы (ABC) и вершину (C_1) верхнего основания, противоположную стороне (AB). Наша задача - найти площадь треугольника (ABC_1).

Сначала найдем боковую сторону равнобедренного треугольника (b). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы (h), боковой стороной (b) и диагональю боковой грани (d). По теореме Пифагора: $$d^2 = b^2 + h^2,$$откуда $$b^2 = d^2 - h^2 = 6.5^2 - 3^2 = 42.25 - 9 = 33.25,$$и $$b = \sqrt{33.25} = 5.766 \text{ см}.$$

Теперь найдем высоту (H) равнобедренного треугольника (ABC), опущенную на основание (a): $$H = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} = \sqrt{33.25 - (5/2)^2} = \sqrt{33.25 - 6.25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}.$$

Площадь треугольника (ABC) равна: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} a H = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2.$$

Далее, рассмотрим треугольник (ABC_1). Его площадь можно найти, зная основание (a = 5) см и высоту (h_{C_1}), опущенную из вершины (C_1) на сторону (AB). Высота (h_{C_1}) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами (H) и (h), где (H) - высота треугольника (ABC), а (h) - высота призмы. Тогда $$h_{C_1} = \sqrt{H^2 + h^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}.$$

Площадь треугольника (ABC_1) равна: $$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} a h_{C_1} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15 \text{ см}^2.$$

Ответ: Площадь сечения призмы равна 15 см².