Вариант 1. 1°. Дана функция $y=x^4-2x^2-8$. Найти: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2;2]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. 1°. Дана функция $y=x^4-2x^2-8$. Найти: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в)…$ Фото задания

Вариант 1. 1°. Дана функция $y=x^4-2x^2-8$. Найти: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2;2]$.

Accepted Answer

Найдём производную: $y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. Критические точки: $x=-1,0,1$.

Знак производной: отрицательный на $(-,-1)$, положительный на $(-1,0)$, отрицательный на $(0,1)$, положительный на $(1,+)$.

а) Функция возрастает на $(-1,0)$ и $(1,+)$; убывает на $(-,-1)$ и $(0,1)$.

б) При переходе знака производной с минуса на плюс в точках $x=-1$ и $x=1$ имеем минимумы: $y(-1)=y(1)=-9$. При переходе с плюса на минус в точке $x=0$ имеем максимум: $y(0)=-8$. Точки экстремума: $(-1,-9)$, $(0,-8)$, $(1,-9)$.

в) На отрезке проверяем критические точки и концы: $y(-2)=y(2)=0$, $y(-1)=y(1)=-9$, $y(0)=-8$.

Ответ: возрастает на $(-1,0)$, $(1,+\infty)$; убывает на $(-,-1)$, $(0,1)$. Экстремумы: минимумы $(-1,-9)$, $(1,-9)$, максимум $(0,-8)$. На $[-2;2]$: наибольшее значение 0, наименьшее −9.