Вариант 1. 1. На медиане ML равнобедренного треугольника KMP с основанием KP отметили точку A. Докажите, что треугольник KAP равнобедренный.

1. Так как ML — медиана к основанию KP, точка L — середина KP: KL = LP.
2. В треугольниках MKL и MPL: MK = MP (боковые стороны равнобедренного треугольника), KL = LP, ML — общая сторона. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому ∠KLM = ∠MLP.
3. Эти углы смежные, значит, каждый равен 90°. Следовательно, ML перпендикулярна KP, а так как L — середина KP, прямая ML — серединный перпендикуляр к KP.
4. Точка A лежит на ML, поэтому она равноудалена от K и P: AK = AP.

Ответ: AK = AP, поэтому треугольник KAP равнобедренный.