Вариант 1. 1. На медиане MN равнобедренного треугольника KMP с основанием KP отметили точку A. Докажите, что треугольник KAP равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, перпендикулярна основанию и проходит через его середину. Поэтому MN — серединный перпендикуляр к KP.

Точка A лежит на MN, а каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Значит, \(AK=AP\).

Следовательно, треугольник KAP равнобедренный с основанием KP.