Вариант 1. № 1. Решите уравнения и неравенства: 1) 4^x + 2^x = 12; 2) 2^(log₂(x − 3)) = 2x − 7; 3) 2^(x+2)·3^(x+2) = 2^(3x)·3^(3x); 4) log₃(x² − 7) = log₃(3x − 3); 5) log₂(x + 2x) − log₂(x + 3) = x + 3; 6) 6^(2x) − 1 < 0; 7) log_(1/5)(5x + 2) > log_(1/5)(15x − 3).

1. Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(t^2+t=12\), то есть \((t-3)(t+4)=0\). Подходит только \(t=3\), поэтому \(x=\log_2 3\).

2. ОДЗ: \(x>3\). По свойству степеней получаем \(x-3=2x-7\), откуда \(x=4\). Это значение входит в ОДЗ.

3. Объединим множители: \(6^{x+2}=6^{3x}\). Так как основание \(6>1\), приравниваем показатели: \(x+2=3x\), откуда \(x=1\).

4. ОДЗ: \(x^2-7>0\) и \(3x-3>0\), вместе это требует \(x>\sqrt7\). Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт \(x^2-7=3x-3\). Тогда \((x-4)(x+1)=0\); ОДЗ удовлетворяет только \(x=4\).

5. ОДЗ: \(x>0\). Тогда \(\frac{3x}{x+3}<3\), поэтому \(\log_2\!\left(\frac{3x}{x+3}\right)<\log_2 3<2\). Правая часть уравнения \(x+3>3\). Равенство невозможно.

6. \(6^{2x}<1\). Поскольку основание больше 1, получаем \(2x<0\), то есть \(x<0\).

7. ОДЗ: \(5x+2>0\) и \(15x-3>0\), значит \(x>\frac15\). Основание \(\frac15\) меньше 1, поэтому знак меняется: \(5x+2<15x-3\). Отсюда \(x>\frac12\), что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 1) \(\log_2 3\); 2) 4; 3) 1; 4) 4; 5) решений нет; 6) \(x<0\); 7) \(x>\frac12\).