Вариант 2. № 1. Решите уравнения и неравенства: 1) 4^x − 3·2^x = 4; 2) 4^(log₄(x − 2)) = 2x − 7; 3) 3^(x+2)·5^(x+2) = 3^(3x)·5^(3x); 4) log₅(x + 3) = log₅(2x − 7); 5) log₂(x² − 3) − log₂(6x − 10) + 1 = 0; 6) 5^(2x) − 1 < 0; 7) log_(1/7)(17x + 1) > log_(1/7)(3x − 13).

1. Положим \(t=2^x>0\). Тогда \(t^2-3t=4\), или \((t-4)(t+1)=0\). Подходит \(t=4\), поэтому \(x=2\).

2. ОДЗ: \(x>2\). По свойству логарифма и степени: \(x-2=2x-7\), откуда \(x=5\); ОДЗ выполнена.

3. Объединим множители: \(15^{x+2}=15^{3x}\). Приравниваем показатели: \(x+2=3x\), откуда \(x=1\).

4. ОДЗ: \(x+3>0\) и \(2x-7>0\), то есть \(x>\frac72\). Равенство логарифмов даёт \(x+3=2x-7\), откуда \(x=10\), что входит в ОДЗ.

5. ОДЗ: \(x^2-3>0\) и \(6x-10>0\), вместе \(x>\frac53\). Объединяем логарифмы: \(\log_2\!\left(\frac{x^2-3}{6x-10}\right)=-1\), поэтому \(\frac{x^2-3}{6x-10}=\frac12\). Получаем \(2x^2-6x+4=0\), то есть \((x-1)(x-2)=0\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=2\).

6. \(5^{2x}<1\). Так как основание больше 1, \(2x<0\), поэтому \(x<0\).

7. ОДЗ требует одновременно \(17x+1>0\) и \(3x-13>0\), значит \(x>\frac{13}{3}\). Основание \(\frac17<1\), поэтому неравенство логарифмов равносильно \(17x+1<3x-13\), откуда \(x<-1\). Условия несовместимы.

Ответ: 1) 2; 2) 5; 3) 1; 4) 10; 5) 2; 6) \(x<0\); 7) решений нет.