Вариант № 1. 1. Sin α = 0,6, 0° < α < 90°. Найти cos α, tg α, ctg α. 2. Найти значение выражения: а) sin 30° − cos 45°; б) cos 60° − sin 150°; в) 2 cos 30° · cos 60° − cos 90°. 3. В треугольнике ABC ∠C = 45°, ∠B = 30°, BC = 6. Найти AC. 4. Смежные стороны параллелограмма равны 5 см и 4 см, а угол между ними равен 60°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь. 5. Выписать номера верных утверждений: 1) Если косинусы углов равны, то равны и сами углы. 2) Синус угла треугольника может быть отрицательным числом. 3) Косинусы смежных углов равны. 4) Смежные углы равны. 5) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

1. Так как угол острый, cos α > 0. По основному тригонометрическому тождеству: cos α = √(1 − 0,6²) = 0,8. Тогда tg α = 0,6 / 0,8 = 3/4, ctg α = 4/3.

2. а) sin 30° − cos 45° = 1/2 − √2/2 = (1 − √2)/2.
б) cos 60° − sin 150° = 1/2 − 1/2 = 0.
в) 2 cos 30° · cos 60° − cos 90° = 2 · (√3/2) · (1/2) − 0 = √3/2.

3. По теореме синусов: AC / sin 30° = BC / sin 105°. Следовательно, AC = 6 · sin 30° / sin 105° = 3 / sin 105°. Поскольку sin 105° = (√6 + √2)/4, получаем AC = 3(√6 − √2).

4. Диагонали параллелограмма находятся по формулам d₁² = a² + b² + 2ab cos 60° и d₂² = a² + b² − 2ab cos 60°. Поэтому d₁ = √(25 + 16 + 20) = 9 см, d₂ = √(25 + 16 − 20) = √21 см. Площадь S = ab sin 60° = 5 · 4 · √3/2 = 10√3 см².

5. Утверждения 1–4 неверны: равные косинусы не всегда означают равенство углов; синус внутреннего угла треугольника положителен; смежные углы в общем случае не равны и их косинусы не обязаны быть равны. Утверждение 5 верно, поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а один угол прямоугольного треугольника равен 90°.

Ответ: 1) cos α = 0,8, tg α = 3/4, ctg α = 4/3; 2) а) (1 − √2)/2, б) 0, в) √3/2; 3) AC = 3(√6 − √2); 4) диагонали 9 см и √21 см, площадь 10√3 см²; 5) верное утверждение — 5.