Вариант № 4. 1. Cos α = −0,6, 90° < α < 180°. Найти sin α, tg α, ctg α. 2. Найти значение выражения: а) cos 0° − sin 90°; б) cos 120° + sin 30°; в) 4 cos 120° · sin 90° · cos 180°. 3. В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 30°, AB = 6. Найти AC. 4. Смежные стороны параллелограмма равны 4 см и 3√2 см, а угол между ними равен 45°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь. 5. Выписать номера верных утверждений: 1) Косинус угла треугольника может быть отрицательным числом. 2) Косинус угла треугольника может быть равен 1. 3) Существует угол, синус и косинус которого равны 1. 4) Противолежащие углы трапеции равны.

1. Угол во II четверти, поэтому sin α > 0. sin α = √(1 − (−0,6)²) = 0,8. Тогда tg α = 0,8/(−0,6) = −4/3, ctg α = −3/4.

2. а) cos 0° − sin 90° = 1 − 1 = 0.
б) cos 120° + sin 30° = −1/2 + 1/2 = 0.
в) 4 cos 120° · sin 90° · cos 180° = 4 · (−1/2) · 1 · (−1) = 2.

3. По теореме синусов: AC / sin 30° = AB / sin 60°. Поэтому AC = 6 · sin 30° / sin 60° = 6 · (1/2)/(√3/2) = 2√3.

4. Диагонали удовлетворяют формулам d₁² = a² + b² + 2ab cos 45° и d₂² = a² + b² − 2ab cos 45°. Здесь a² + b² = 16 + 18 = 34, а 2ab cos 45° = 24. Следовательно, диагонали равны √58 см и √10 см. Площадь S = ab sin 45° = 4 · 3√2 · √2/2 = 12 см².

5. Утверждение 1 верно: тупой угол треугольника имеет отрицательный косинус. Утверждение 2 неверно, поскольку внутренний угол треугольника строго больше 0° и меньше 180°, а cos α = 1 только при α = 0°. Утверждение 3 неверно: не существует угла, у которого и синус, и косинус равны 1. Утверждение 4 неверно для произвольной трапеции.

Ответ: 1) sin α = 0,8, tg α = −4/3, ctg α = −3/4; 2) а) 0, б) 0, в) 2; 3) AC = 2√3; 4) диагонали √58 см и √10 см, площадь 12 см²; 5) верное утверждение — 1.