Вариант № 3. 1. Cos α = 0,6, 0° < α < 90°. Найти sin α, tg α, ctg α. 2. Найти значение выражения: а) cos 30° − sin 45°; б) 2 cos 60° − 2 sin 30°; в) 4 cos 120° · sin 45° · cos 180°. 3. В треугольнике ABC ∠C = 120°, ∠B = 45°, AB = 4. Найти AC. 4. Смежные стороны параллелограмма равны 7 см и 2√3 см, а угол между ними равен 30°. Найти диагонали параллелограмма и его площадь. 5. Выписать номера верных утверждений: 1) Существует угол, синус и косинус которого равны. 2) Синус угла треугольника может быть равен 1. 3) Синус любого острого угла больше синуса любого тупого угла. 4) Вертикальные углы равны. 5) Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°.

1. Так как угол острый, sin α > 0. sin α = √(1 − 0,6²) = 0,8. Тогда tg α = 0,8/0,6 = 4/3, ctg α = 3/4.

2. а) cos 30° − sin 45° = √3/2 − √2/2 = (√3 − √2)/2.
б) 2 cos 60° − 2 sin 30° = 2 · 1/2 − 2 · 1/2 = 0.
в) 4 cos 120° · sin 45° · cos 180° = 4 · (−1/2) · (√2/2) · (−1) = √2.

3. По теореме синусов: AC / sin 45° = AB / sin 120°. Поэтому AC = 4 · sin 45° / sin 120° = 4 · (√2/2)/(√3/2) = 4√6/3.

4. Диагонали удовлетворяют формулам d₁² = a² + b² + 2ab cos 30° и d₂² = a² + b² − 2ab cos 30°. Здесь a² + b² = 49 + 12 = 61, а 2ab cos 30° = 42. Следовательно, диагонали равны √103 см и √19 см. Площадь S = ab sin 30° = 7 · 2√3 · 1/2 = 7√3 см².

5. Утверждение 1 верно: sin 45° = cos 45°. Утверждение 2 верно: угол треугольника может быть прямым, и sin 90° = 1. Утверждение 3 неверно, например sin 120° = √3/2 больше sin 30° = 1/2. Утверждение 4 верно. Утверждение 5 верно, поскольку основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей.

Ответ: 1) sin α = 0,8, tg α = 4/3, ctg α = 3/4; 2) а) (√3 − √2)/2, б) 0, в) √2; 3) AC = 4√6/3; 4) диагонали √103 см и √19 см, площадь 7√3 см²; 5) верные утверждения — 1, 2, 4, 5.