Вариант 1. 1. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K — середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. а) Докажите, что EFMK — параллелограмм. б) Найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см.

а) В треугольнике ABC точки E и F — середины сторон AB и BC, поэтому по свойству средней линии EF ∥ AC и EF = AC/2.

В треугольнике ADC точки K и M — середины сторон AD и DC, поэтому KM ∥ AC и KM = AC/2. Следовательно, EF ∥ KM и EF = KM.

В треугольнике BCD точки F и M — середины сторон BC и CD, поэтому FM ∥ BD и FM = BD/2. В треугольнике BAD точки E и K — середины сторон BA и AD, поэтому EK ∥ BD и EK = BD/2. Следовательно, FM ∥ EK и FM = EK.

У четырёхугольника EFMK обе пары противоположных сторон параллельны, значит, EFMK — параллелограмм.

б) Стороны параллелограмма равны половинам диагоналей тетраэдра: EF = KM = AC/2 = 3 см, FM = EK = BD/2 = 4 см.

Периметр: P = 2(3 + 4) = 14 см.

Ответ: 14 см.