Вариант 2. 1. Точка A не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки P, R, S и T — середины отрезков AB, AD, CD и BC соответственно. а) Докажите, что PRST — параллелограмм. б) Найдите AC, если BD = 6 см, а периметр PRST равен 14 см.

а) В треугольнике ABD отрезок PR соединяет середины AB и AD, поэтому PR ∥ BD и PR = BD/2.

В треугольнике BCD отрезок TS соединяет середины BC и CD, поэтому TS ∥ BD и TS = BD/2. Значит, PR ∥ ST и PR = ST.

В треугольнике ACD отрезок RS соединяет середины AD и CD, поэтому RS ∥ AC и RS = AC/2.

В треугольнике ABC отрезок PT соединяет середины AB и BC, поэтому PT ∥ AC и PT = AC/2. Значит, RS ∥ PT и RS = PT.

У четырёхугольника PRST обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, PRST — параллелограмм.

б) Стороны PR и RS равны соответственно BD/2 и AC/2. Поэтому периметр:

14 = 2(BD/2 + AC/2) = BD + AC.

AC = 14 − 6 = 8 см.

Ответ: AC = 8 см.