Вариант 1. № 1. В окружности с центром О проведены диаметр ВА и радиус ОС так, что хорда СА равна радиусу. Найдите ∠BOC, если ∠CAO = 40°.

Решение:

1. Треугольник \( AOC \) — равнобедренный, так как \( OA = OC \) (радиусы). Следовательно, \( \angle OCA = \angle OAC = 40^{\circ} \).

2. В треугольнике \( AOC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle AOC = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

3. \( \angle BOC \) и \( \angle AOC \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^{\circ} \) (так как \( BA \) — диаметр).

4. \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).

Ответ: \( \angle BOC = 80^{\circ} \).