Вариант 1. № 4. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠ BAC=∠ BAD(рис.63). Докажите, что АС=AD.

Доказательство:

1. Углы \( \angle ACB \) и \( \angle ADB \) являются вписанными углами, опирающимися на диаметр \( AB \). Следовательно, \( \angle ACB = 90^{\circ} \) и \( \angle ADB = 90^{\circ} \).

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \).

3. У них есть общая сторона \( AB \) (диаметр).

4. По условию задачи \( \angle BAC = \angle BAD \).

5. В прямоугольных треугольниках \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \) углы \( \angle ACB \) и \( \angle ADB \) равны \( 90^{\circ} \).

6. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (или по двум углам и прилежащей стороне), \( \triangle ABC \) равен \( \triangle ABD \) (так как \( AB \) — общая гипотенуза, и \( \angle BAC = \angle BAD \) — равные острые углы).

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AC = AD \).

Что и требовалось доказать.