Вариант 1. 1. В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A делит сторону BC на отрезки BE = 8 см, EC = 2 см, ∠AEC = 150°. Определите: а) углы и периметр параллелограмма; б) вид четырёхугольника AECD; в) углы четырёхугольника AECD.

а) Углы и периметр параллелограмма.

Так как точки B, E, C лежат на одной прямой, ∠AEB = 180° − 150° = 30°. Пусть половина угла A равна x. Тогда ∠A = 2x, а ∠ABC = 180° − 2x.

В треугольнике ABE: \(x + 30^\circ + (180^\circ - 2x) = 180^\circ\), откуда \(x = 30^\circ\). Значит, ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°.

В треугольнике ABE углы при A и E равны, поэтому противоположные им стороны равны: AB = BE = 8 см. Кроме того, BC = BE + EC = 8 + 2 = 10 см. Периметр параллелограмма: \(P = 2(AB + BC) = 2(8 + 10) = 36\) см.

б) Вид четырёхугольника AECD.

EC параллельна AD, поскольку EC лежит на BC, а BC ∥ AD. Также AE = AB = 8 см и CD = AB = 8 см. Значит, AECD — равнобедренная трапеция.

в) Углы четырёхугольника AECD.

∠EAD = 30° — половина угла A; ∠AEC = 150° дан. Угол при C равен углу C параллелограмма, то есть 60°, а угол при D — углу D параллелограмма, то есть 120°.

Ответ: а) ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°, P = 36 см; б) равнобедренная трапеция; в) ∠EAD = 30°, ∠AEC = 150°, ∠ECD = 60°, ∠CDA = 120°.