Вариант 2. 1. В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60°. Определите: а) углы и периметр параллелограмма; б) вид четырёхугольника ABMD, где точка M — середина DC; в) углы четырёхугольника ABMD.

а) Углы и периметр параллелограмма.

Диагональ BD делит угол ADC на два угла по 60°, поэтому ∠D = 120°. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°: ∠B = 120°, ∠A = ∠C = 60°.

В треугольнике BCD углы при D и C равны 60°: угол при C равен углу C параллелограмма. Следовательно, треугольник BCD равносторонний и BC = CD = BD = 6 см. Противоположные стороны параллелограмма равны, значит, все его стороны равны 6 см. Тогда \(P = 4 \cdot 6 = 24\) см.

б) Вид четырёхугольника ABMD.

AB ∥ DC, а MD лежит на DC, поэтому AB ∥ MD. В равностороннем треугольнике BCD медиана BM перпендикулярна DC, следовательно, BM ⟂ AB. Значит, ABMD — прямоугольная трапеция.

в) Углы четырёхугольника ABMD.

Угол при A равен углу A параллелограмма и составляет 60°. Углы при B и M прямые, так как BM перпендикулярна основаниям AB и MD. Угол при D равен углу D параллелограмма и составляет 120°.

Ответ: а) ∠A = ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 120°, P = 24 см; б) прямоугольная трапеция; в) ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠M = 90°, ∠D = 120°.