Вариант 1. 1. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. На диагонали AC отложены отрезки OM и ON, равные BO. а) Определите вид четырёхугольника BMDN. б) Укажите пары равных треугольников.

Считаем, что M и N лежат на диагонали AC по разные стороны от O, как предполагает условие о четырёхугольнике.

а) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OB=OD\), а \(\angle BOM=\angle MOD=90^\circ\). По условию \(OM=ON=BO\). Следовательно, все четыре отрезка \(OB, OM, OD, ON\) равны.

В каждом из треугольников \(BOM\), \(MD O\), \(DNO\) и \(NBO\) катеты равны, а угол между ними прямой. Поэтому стороны четырёхугольника BMDN равны, а его углы прямые: BMDN — квадрат.

б) Все четыре малых треугольника равны между собой: \(\triangle BOM\cong\triangle MOD\cong\triangle DON\cong\triangle NOB\). Например, равенство каждой пары следует по двум катетам и углу между ними. Также диагональ BD делит квадрат на равные треугольники: \(\triangle BMD\cong\triangle BND\).