Вариант 2. 1. В прямоугольнике ABCD на сторонах BC и AD взяты точки E и F так, что AB = BE и CD = FD. а) Докажите, что AE — биссектриса угла BAD и CF — биссектриса угла BCD; б) Определите вид четырёхугольника AECF.

а) Так как ABCD — прямоугольник, \(AB=CD\), а \(\angle ABE=\angle CDF=90^\circ\). По условию \(AB=BE\) и \(CD=FD\), поэтому треугольники ABE и CDF — равнобедренные прямоугольные.

Отсюда \(\angle BAE=45^\circ\). Поскольку \(\angle BAD=90^\circ\), луч AE делит этот угол пополам. Аналогично \(\angle DCF=45^\circ\), поэтому CF — биссектриса угла BCD.

б) Так как противоположные стороны прямоугольника равны, \(AB=CD\). Из условий следует \(BE=FD\), а значит, оставшиеся части сторон равны: \(EC=AF\). Кроме того, \(AE\parallel CF\), поскольку оба отрезка образуют угол 45° с горизонтальными сторонами прямоугольника; \(EC\parallel AF\), так как оба лежат на вертикальных сторонах. Следовательно, противоположные стороны AECF параллельны, и AECF — параллелограмм.