Вариант 1. 2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырёхугольник — ромб.

Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно M, N, P и Q. Соединим их последовательно.

а) На рисунке M, N, P, Q — середины AB, BC, CD, DA; проведены диагонали AC и BD и стороны MNPQ.

б) В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины AB и BC, поэтому MN ∥ AC и MN = AC/2. В треугольнике ADC отрезок QP соединяет середины AD и DC, поэтому QP ∥ AC и QP = AC/2. Следовательно, MN ∥ QP и MN = QP.

В треугольнике BCD отрезок NP соединяет середины BC и CD, поэтому NP ∥ BD и NP = BD/2. В треугольнике BAD отрезок MQ соединяет середины BA и AD, поэтому MQ ∥ BD и MQ = BD/2. Следовательно, NP ∥ MQ и NP = MQ.

Значит, MNPQ — параллелограмм. Кроме того, AC = BD, поэтому MN = AC/2 = BD/2 = NP. Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.

Ответ: MNPQ — ромб.