Вариант 2. 2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, M и N — середины сторон AB и BC соответственно, E ∈ CD, K ∈ DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что четырёхугольник MNEK — трапеция.

а) На схеме M и N отмечены как середины AB и BC; точки E и K делят CD и DA в отношении 1:2, считая от D.

б) В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины AB и BC, поэтому MN ∥ AC.

По условиям DE : EC = 1 : 2 и DK : KA = 1 : 2, значит, DE/DC = DK/DA = 1/3. В треугольнике DCA точки E и K делят стороны DC и DA в одинаковом отношении от вершины D. По обратной теореме Фалеса EK ∥ CA.

Так как MN ∥ AC и EK ∥ AC, получаем MN ∥ EK. Следовательно, у четырёхугольника MNEK есть параллельная пара противоположных сторон, значит, это трапеция.

Ответ: MNEK — трапеция, поскольку MN ∥ EK.