Вариант 1. 2. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N так, что M — середина BC, CN : ND = 1 : 3. Выразите векторы \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{AB}\), \(\vec y=\overrightarrow{AD}\).

Положим начало в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec x\), \(\overrightarrow{AD}=\vec y\), а \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), \(\overrightarrow{CD}=-\vec x\).

1. Так как M — середина BC, \(\overrightarrow{BM}=\frac12\vec y\). Поэтому \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec x+\frac12\vec y\).
2. Из \(CN:ND=1:3\) следует, что \(\overrightarrow{CN}=\frac14\overrightarrow{CD}=-\frac14\vec x\). Следовательно, \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=(\vec x+\vec y)-\frac14\vec x=\frac34\vec x+\vec y\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac34\vec x+\vec y\right)-\left(\vec x+\frac12\vec y\right)=-\frac14\vec x+\frac12\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\vec x+\frac12\vec y\), \(\overrightarrow{AN}=\frac34\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{MN}=-\frac14\vec x+\frac12\vec y\).