Вариант 2. 2. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и AD взяты точки M и N соответственно так, что M — середина AB, AN : ND = 1 : 2. Выразите векторы \(\overrightarrow{CM}\), \(\overrightarrow{CN}\) и \(\overrightarrow{MN}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{CB}\), \(\vec b=\overrightarrow{CD}\).

Положим начало в точке C. Тогда \(\overrightarrow{CB}=\vec a\), \(\overrightarrow{CD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{CA}=\vec a+\vec b\).

1. M — середина AB. Так как \(\overrightarrow{AB}=\vec b\), получаем \(\overrightarrow{AM}=\frac12\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac32\vec b\).
2. Из \(AN:ND=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AD}=\frac13\vec a\). Поэтому \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\frac43\vec a+\vec b\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM}=\left(\frac43\vec a+\vec b\right)-\left(\vec a+\frac32\vec b\right)=\frac13\vec a-\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\vec a+\frac32\vec b\), \(\overrightarrow{CN}=\frac43\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{MN}=\frac13\vec a-\frac12\vec b\).