Вариант 1. 2. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка E лежит на стороне AB, а точка F — на стороне BC, причём EF параллельна плоскости ADC, точка P — середина AD, а точка K — середина DC. 1) Докажите, что EF ∥ PK. 2) Каково взаимное расположение прямых PK и AB? Чему равен угол между этими прямыми, если ∠ABC = 40° и ∠BCA = 80°?

1) Так как EF параллельна плоскости ADC, а плоскость ABC пересекает плоскость ADC по AC, то EF параллельна AC. Действительно, EF лежит в плоскости ABC и не пересекает AC.

В треугольнике ADC точки P и K — середины AD и DC. По теореме о средней линии треугольника PK ∥ AC. Следовательно, EF ∥ PK, поскольку обе прямые параллельны AC.

2) В треугольнике ADC прямая PK параллельна AC. Прямые AB и AC пересекаются в A, поэтому AB не параллельна PK и не пересекает её: прямые AB и PK скрещиваются, так как лежат в разных плоскостях.

Угол между скрещивающимися прямыми определяем как угол между пересекающимися прямыми, параллельными им. Поскольку PK ∥ AC, этот угол равен углу между AB и AC, то есть ∠BAC.

По сумме углов треугольника ABC: ∠BAC = 180° − 40° − 80° = 60°.

Ответ: EF ∥ PK; прямые PK и AB скрещиваются; угол между ними равен 60°.