Вариант 1. 3. На прямой отмечены точки A и B так, что AB = 10. Укажите на данной прямой расположение точки (или множества точек) C, удовлетворяющих условию: а) AC < CB; б) AC + CB = 10; в) AC + CB = 6; г) AC − CB > 2.

Расположим точки на координатной прямой: A = 0, B = 10. Тогда AC = |x| и CB = |x−10|, где x — координата C.

1. а) |x| < |x−10| означает, что C ближе к A, чем к B. Граница равноудалённости — середина AB, поэтому подходят точки левее середины: x < 5.

2. б) Сумма расстояний до концов отрезка равна AB тогда и только тогда, когда C принадлежит отрезку AB. Следовательно, 0 ≤ x ≤ 10.

3. в) Для любой точки прямой AC + CB ≥ AB = 10, поэтому сумма 6 невозможна.

4. г) Решаем |x| − |x−10| > 2. При x ≤ 0 разность равна −10; при 0 ≤ x ≤ 10 она равна 2x−10; при x ≥ 10 она равна 10. Неравенство выполняется при 6 < x ≤ 10 и при x ≥ 10, то есть при x > 6.

Ответ: а) C левее середины AB; б) C на отрезке AB, включая A и B; в) таких точек нет; г) все точки правее точки, отстоящей от A на 6 единиц.